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　　一般地，从〃个不同元素中取出m (zn n )个元素并成一•组，叫做从〃个不同元素中取出m个元 素的一个组合.

　　从摆放与组合的界说可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表明与次第无关. 摆放与元素的次第有关，而组合与元素的次第无关，这是它们的底子差异.

　　假如两个组合中的元素相同，那么不论元素的次第怎样都是相同的组合；只要当两个组合中的元素 不完全相一起，，它首要触及元素被取到或未被 取到.

　　从〃个不同元素中取出m ( m )个元素的一切组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出m个元

　　一个组合是指“从n个不同的元素中取出m(mWn)个元素并成一组”，它不是一个数，而是详细的 一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的一切组合的个数”，它是一个数.

　　例如，从3个不同元素a, b, c中取出2个元素的组合为ab, ac, be,其间每一种都叫做一个组合, 而数字3便是组合数.

　　求从n个不同元素中取出m个元素的摆放数4：，能够按以下两步来考虑：

　　依据分步计数原理，得到47 = C； • 4： •

　　田呼 rn A7 （〃T）（〃一 2） （n-m+1） 因而 CM = =

　　这儿n, mEN,，且mWn,；=—— ，所以组合数公式还可表明

　　组合数公式的推导办法是一种重要的解题办法！在今后学习摆放组合的混合问题时，一般都是按先取 后排（先组合后摆放）的次第解决问题。

　　⑴ c，，，=j=阳-1）（〃-2）（〃-建 + 1）（必”,且心〃）

　　（2） C = : （ m, ne N., 且 mn ）

　　上面第一个公式一般用于核算，但当数值s、〃较大时，使用第二个式子核算组合数较为便利，在 对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用第二个公式.

　　性质 1； C；； = C「（m、neN+，且mn）

　　性质 2： C；；\ = C；： + C1- （ s、neN+,且 mn）

　　“含”，则先将这些元素取出，再由别的元素补足；“不含”，则先将这些元素除掉，再从剩余的元素 中去选取.

　　如：现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，若男甲、女A都有必要中选，有多少种不同的选法?

　　因为男甲、女A有必要中选，只需从剩余7人中任选3人即可满意标题的要求，故有C?=35种不同的选法.

　　解这类题有必要十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的意义， 法都能够求解，但一般用直接法分类杂乱时，考虑逆向思想，用间接法处理.

　　如（1）中，将问题改为至少有一名女同学中选，有多少种不同的选法?则在悉数的选法中，扫除悉数

　　例如，将12本不同的书分红五份，分别为2本、2本、2本、3本、3本，求不同的分法数. 依据上述公式，分到指定方位数为ucecu .

　　其间两本的有三堆，故除以3!； 3本的有两堆，要除以2!,故分法数为冬.

　　关于某些元素的次第固定的摆放问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总方位中选出定序 元素的方位而不参与摆放，然后对其他元素进行摆放.

　　法一：5人不加约束的摆放办法有/种，甲在乙的左面和甲在乙的右边”的排法是相对的，所 以甲有必要在乙的左面的排法有；找=60 （种）.

　　第二步，剩余三个方位由剩余三人全排，有定种排法，共有＜•定=60 （种）；

　　法三：从5个方位选3个方位由除甲、乙两人之外的三人摆放有定=60种（剩余两个方位，甲、乙 随之确认）.

　　如，将10个保送生预选目标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配计划？

　　将10个名额并成一排，名额之间有9个空，用5块隔板刺进9个空，就可将10个名额分为6部分，

　　留意：隔板法与插空法是不同的，要予以“区别隔板法只适用于相同元素的分配问题.

　　（1） 设调集A={a, b, c, d, e},则调集A的子集中含有3个元素的有多少个？

　　（2） 因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的，故是摆放问题，但票价与次第无关，甲站到 乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.

　　（3） 因为分工办法是从5种不同的工作中取出3种，按必定次第分给3个人去干，故是摆放问题.

　　（4） 因为3本书是相同的，不管把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的次第，故是组合问题.

　　区别摆放与组合问题，关键是使用摆放与组合的界说，组合是“只选不排、并成一组，与次第无关”.

　　【解析】线段不考虑线段两个端点的次第，是组合问题：有向线段考虑线段两个端点的次第，是摆放 问题.

　　即以其间每2个点为端点的线） 因为有向线段的两个端点中一个是起点，一个是结尾，

　　【思路指点】要正确理解题意中的关键性词语，从“在”与“不在” “至少”中寻求解题思路.

　　某内科医师参与，某外科医师不参与，只需从剩余的18名医师中选4名即可，故有C% =3 060种.

　　至少有一名内科医师和至少有一名外科医师中选可分为四类：一内四外;二内三外;三内二外；四内一 外,共有 C^Cs+C^CVcioC^+C,20^14 656(种).

　　事情“至少有一名内科医师和至少有一名外科医师”的不和是“悉数为内科医师或外科医师”，共有 C512+C58种选法，则 C520-(C512+C\)=14 656 种.

　　本题属有约束条件的组合问题，“含”与“不含”，“最多”与“至少”是常见题型.“含有” 一般先 将这些元素取出，缺乏部分由别的的元素弥补，“不含”可将这些元素除掉，“最 多，，与“至少”问题，是用直接法仍是扫除法，要详细问题详细分析,一般是正难则反.

　　(1)第一步：选3名男运动员，有C系中选法. 第二步：选2名女运动员，有C?种选法.

　　(2)办法一至少1名女运动员包含以下几种状况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

　　由分类加法计数原理可得总选法数为C，C?柯？C/tjCg柯技技246种.

　　（3） 办法一：可分类求解： “只要男队长”的选法为C：； “只要女队长”的选法为C$；

　　含女运动员的选法有c 种，所以不选女队长时的选法共有c * -c :种选法.

　　【思路指点】本题是首先是要把六本不同的书分红3组，然后再分配到甲、乙、丙三人手中。

　　（3） 选2本为一组有C；种，剩余4本再选2本为另一组有C：种，最终2本为一组有C；种，

　　（重复状况列举如下：记6本书为a、b、c、d、e、fo以下定种分法只能算一种：ab/cd/ef； ab / ef / cd； cd / ef / ab； cd / ab / ef； ef / cd / ab； ef / ab / cd。）

　　（或甲先选有C：种，接着乙选有C：,最终丙选有C；种。共C^C；C；=90种。）

　　【总结提高】 一般地，均匀分红n堆（组），有必要除以n!；如若部分均匀分红m堆（组），有必要除以 m!。本类题是分组后分配问题，要将分组和分配分得很清楚。

　　【变式I] (1) 4名乒乓球选手，分为两组举办双打比赛，共有多少种分组办法？

　　将1, 2, 3, 4, 5, 6六个数字平分为3份，每份两个数字，共有多少种不同的分组办法？ 【答案】(1)看似简略，：1、2〜3、4, 1、3〜2、4, 1、

　　4〜2、3, 2、3〜1、4, 2、4〜1、3, 3、4〜1、2,即会发现各重复一次，一共

　　与(1)同理，%种中含1, 2, 3, 4, 5,又含6, 7, 8, 9, 10.

　　当取1, 2, 3, 4, 5时，相应的另一组是6, 7, 8, 9, , 7, 8, 9, 10时，相应的另 一组是1, 2, 3, 4, .

　　1、2, 5、6, 3、4； 3、4, 1、2, 5, 6； 5、6, 1、2, 3、4； 5、6, 3、4, 1、 同一种分组法，即这中心各有组是重复的同一种分组办法，所以，共有分组办法应是 箜字=15种.

　　【变式2】6本不同的书悉数送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书办法？

　　【答案】第一步：从6本不同的书中任取2本“绑缚”在一起当作一个元素有种办法；

　　【变式3] 4个男同学和4个女同学各均匀分红两组，每组2人， 人在不同的校园算作不同的状况，那么共有多少种不同的分配办法？

　　，要求甲有必要站在乙的左面，丙有必要站在乙的右边，有多少种不同的排法？ 【思路指点】本题是部分不同元素定序问题，能够用逐个刺进法.

　　【解析】先把甲乙丙按指定次第拍成一排只要1种排法，再在甲乙丙的两头和之间5个空档中选1 个方位让丁站有C\种不同的办法，再在这4人之间和两头5个空档中选1个方位让戊站有 C；种不同的站法，依据分步计数原理，契合规范要求站法有1 XC：XC；=20种.

　　对部分不同元素定序（或部分相同元素）摆放的问题，常用逐个刺进法，先将这些“特别元素” 按指定次第摆放，再将“一般元素”逐-、部分相 同元素是组合问题.

　　【变式】在一个晚会上有相声、歌唱、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个，要求相声节目有必要排在 小提琴独奏前，小品排在小提琴独奏后，这台晚会的节目有多少种不同的排法？

　　【答案】先把这5个节目排成一排占5个方位，先在这5个方位中选3个方位按早年到后为相声、小提琴 独奏、小品次第组织这三个节目有C；种不同办法，再在其他2个方位上组织歌唱和诗歌朗诵有 种不同办法，依据分步计数原理，契合规范要求的节目排法有=20种.

　　【思路指点】名额目标是相同的元素，分配的不同办法是指各班取得的数量不同。

　　由班至少分到1个名额，可先给每班1个名额，只需考虑余下2个名额的分配办法有多少种不同状况。

　　从中任取7个空档，则10个名额被取到的空档分红了 8份，每一份对应地放在班的方位上，

　　【总结提高】名额与名额是没有不同的，而班级与班级是有不同的，故合适隔板法。

　　【变式】把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其 编号数，试求不同分法的种数。

　　先让2、3号阅览室顺次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，确保每个阅览室至少得一 本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内刺进两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有C； 种插法，即有15种分法。

　　，其间5个人只会跳舞，5个人只会歌唱，3个人既会歌唱，也会 跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会歌唱的人去演节目，共有多少种不同的选法？

　　第五类:若3人中有两人歌唱第三人跳舞或两人跳舞第三人歌唱，共有2C；CC；C：种；

　　【总结提高】关于有关元素为“多面手”的问题，应该依照“多面手”有没有被选入，选中的“多面手”作 何用，进行分类.

　　【变式】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其间7人会英语,3人会日语，从中选取会英语 和日语的各一人，有多少种不同的选法？

　　【答案】如图，以会英语为根底分类，选取的一名会英语可从只会英语的人员中抽取，也可从既会英语又会

　　由题意可知，只会英语的有6人,只会日语的有2人,英语和日语都会的有1人.

　　以只会英语的人数分类,C6 . C - U+E • C*20.

　　（A） 150 种 （B） 147 种 （C） 144 种 （D） 141 种

　　取出的四个点不共面的状况要比取出的四个点共面的状况杂乱，可采用间 接法，先不加约束任取四点，再减去四面共点的取法.

　　【解析】在10个点中任取4点，有种取法，取出的4点共面有三类（如图）.

　　第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面/BE,有6种取法；

　　第三类：过四面体的四条棱的中点，面与别的两条棱平行，如图中的平面E/GM,共有3个.

　　故取4个不共面的点的不同取法共有Gt —（4C： +6+3） =141 （种）

　　【总结提高】有些摆放组合问题，正面直接考虑很杂乱，而它的不和往往比较简捷，能够先求出它的不和, 再从全体中筛选.

　　由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，常见的附加条件是点共线与不 共线，点共面与不共面，线共面与不共面等.

　　【答案】从8个点中取4个点，共有C；种办法，其间取出的4个点共面的有6 + 6=12种，所以契合条件

　　, 2, 3, 4, 5的五个球和编号1, 2, 3, 4, 5的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个 盒子放一个球，而且刚好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法

　　【解析】从5个球中取出2个与盒子对号有C；种还剩余3球3盒序号不能对应，使用实践操作法，假如 剩余3, 4, 5号球，3, 4, 5号盒3号球装4号盒时，则4, 5号球有只要1种装法，同理3号球装5 号盒时,4, 5号球有也只要1种装法，由分步计数原理有2《种

　　关于条件很杂乱的摆放组合问题，不易用公式进行运算，往往使用穷举法或画出树状图会收到意想 不到的成果